Mnogi studenti koji su u starijim godinama studirali višu matematiku vjerojatno su se pitali: gdje se u praksi primjenjuju diferencijalne jednadžbe (DE)? U pravilu se o ovom pitanju ne govori na predavanjima, a nastavnici odmah prelaze na rješavanje DE bez objašnjavanja studentima primjene diferencijalnih jednadžbi u stvarnom životu. Pokušat ćemo popuniti ovu prazninu.
Počnimo s definiranjem diferencijalne jednadžbe. Dakle, diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje vrijednost izvedenice funkcije sa samom funkcijom, vrijednostima neovisne varijable i nekim brojevima (parametrima).
Najčešće područje u kojem se primjenjuju diferencijalne jednadžbe je matematički opis prirodnih pojava. Također se koriste u rješavanju problema gdje je nemoguće uspostaviti izravan odnos između nekih vrijednosti koje opisuju proces. Takvi se problemi javljaju u biologiji, fizici, ekonomiji.
U biologiji:
Prvi smislen matematički model koji opisuje biološke zajednice bio je Lotka - Volterra model. Opisuje populaciju dviju vrsta koje međusobno djeluju. Prvi od njih, nazvani grabežljivci, u nedostatku drugog, izumire prema zakonu x ′ = –ax (a> 0), a drugi - plijen - u nedostatku grabežljivaca množi se unedogled u skladu sa zakonom od Malthusa. Interakcija ove dvije vrste modelirana je na sljedeći način. Žrtve izumiru brzinom jednakom broju susreta grabežljivaca i plijena, za koji se pretpostavlja da je u ovom modelu proporcionalna veličini obje populacije, tj. Jednaka dxy (d> 0). Prema tome, y ′ = by - dxy. Predatori se razmnožavaju brzinom proporcionalnom broju pojedenih lovina: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sustav jednadžbi
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = prema - dxy, (2)
grabežljivac-plijen koji opisuje takvu populaciju naziva se sustavom Lotka-Volterra (ili modelom).
U fizici:
Newtonov drugi zakon može se napisati u obliku diferencijalne jednadžbe
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), gdje je m masa tijela, x njegova koordinata, F (x, t) sila koja djeluje na tijelo s koordinatom x u trenutku t. Njegovo rješenje je putanja tijela pod djelovanjem navedene sile.
U ekonomiji:
Model prirodnog prirasta proizvodnje
Pretpostavit ćemo da se neki proizvodi prodaju po fiksnoj cijeni P. Neka Q (t) označava količinu proizvoda prodanih u trenutku t; tada je u ovom trenutku dohodak jednak PQ (t). Dio navedenog dohotka neka se potroši na ulaganja u proizvodnju prodanih proizvoda, t.j.
I (t) = mPQ (t), (1)
gdje je m stopa ulaganja - konstantan broj i 0
